Cette leçon présente une preuve complète de la dérivée de la fonction exponentielle \( a^x \), où \( a > 0 \) et \( a \neq 1 \). Nous dérivons également la formule pour la fonction exponentielle composée \( a^{u(x)} \) en utilisant la règle de chaîne et fournissons des exemples résolus.
Preuve de la dérivée de \( a^x \)
Soit :
\[ y = a^x, \qquad a > 0, \; a \neq 1 \]Prenons le logarithme naturel des deux côtés :
\[ \ln y = \ln(a^x) \]En utilisant l'identité logarithmique \( \ln(a^x) = x \ln a \), nous obtenons :
\[ \ln y = x \ln a \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln a) \]Appliquons la règle de chaîne au côté gauche :
\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \]Multiplions les deux côtés par \( y \) :
\[ \frac{dy}{dx} = y \ln a \]Substituons \( y = a^x \) :
Dérivée de la fonction composée \( y = a^{u(x)} \)
Soit \( u = u(x) \). Par la règle de chaîne :
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = \frac{d(a^u)}{du} \frac{du}{dx} \]En utilisant le résultat précédent :
\[ \frac{d(a^u)}{du} = (\ln a)a^u \]Par conséquent :
Exemples avec solutions
Exemples résolus : Dérivation de fonctions exponentielles composées
Trouvez les dérivées des fonctions suivantes :
- \( f(x) = 2^{-x^4+5x-4} \)
- \( g(x) = 3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
- \( h(x) = 5^{\frac{2x}{3x+2}} \)
Solutions :
-
Soit \( u(x) = -x^4 + 5x - 4 \). Alors \( \frac{du}{dx} = -4x^3 + 5 \).
En appliquant la formule : \[ f'(x) = (\ln 2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \] -
Soit \( u(x) = \sqrt{x^4+2x} \). Alors \( \frac{du}{dx} = \frac{4x^3+2}{2\sqrt{x^4+2x}} = \frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \).
En appliquant la formule : \[ g'(x) = (\ln 3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] - Soit \( u(x) = \frac{2x}{3x+2} \). En utilisant la règle du quotient : \[ \frac{du}{dx} = \frac{2(3x+2) - 2x(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x}{(3x+2)^2} = \frac{4}{(3x+2)^2} \] En appliquant la formule : \[ h'(x) = (\ln 5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]